STATISTICS - TEST QUESTIONS

4.1 표준편자가 1 인 모집단으로 부터 크기 n 인가샘플을 무작위로 추출되었습니다.
p를 주정하는데 허용오자 한계 0.1을 초과할 확률이 0.05 이내가 되기 위한n 을 결정해아 한다.
요구되는 샘플 크기에 가장 가까운 값은 어느 것인가?

a. 42
b. 106
C. 203
d. 384

풀이: 요구되는 표준편자 및 오차의 한계에 대한 샘플 크기는 아래 식에 의해 구해진다.
$$$ n=\frac{Z^{2} \sigma^{2}}{E^{2}} $$$ 여기서,
n=샘플크기 , E=요구되는 오차의 한계 , σ = 모 표준편차 z=신뢰 구간 z 값
$$$ n=\frac{1.96^{2}\cdot 1^{2}}{0.1^{2}}=384.16 $$$ 정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-62

4.2 장비 A는 평균 100시간이고 수명은 지수분포를 따른다.
장비 B의 수명은 평균 100시간, 표준편차 40 시간인 정규분포를 따른다.
10 시간 임무시간 동안 고장이 나지 않는 확률에 대한 언급 중 어느 것이 옳은 내용인가?

a. 장비 A 가 성공확률이 더 높다
b. 장비 B 가 성공확률이 더 높다
c. 장비 A 와 장비 B는 성공확률이 동일한다.
d. 이 질문에 답하기에는 정보가 충분치 못한다.

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 A와 장비 B 에 대한 신뢰도를 계산하고 이 값들을 비교해야 한다.
\begin{align*} & R_{a}=e^{-\frac{t}{\theta}}=0.9048 \\& Z_{b}= \frac{t - \theta}{\sigma}= \frac{10 - 100}{40}=-2.25 \\& R_{b}= P(Z_{b} \geq -2.25)=0.9878 \end{align*}
Z_b는 신뢰도 R_b를 구하기 위한 정보를 제공한다.
정규분포에서 Z_b= -2.25의 우즉에 있는 면적이 신뢰도가 된다.
장비 B의 신뢰도(성공확률)가 더 높다.
정답 : B
참고문현: CRE 프라이머 Section Ⅳ-37/3잇 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.3 기자가 역에 일찍 도작할 확률이 0.23이고 역에 늦게 도작할 확률이 0.18이라면
기차가 일찍 도작하거나 늦게 도착할 확률은 얼마인가?

a. 0.0414
b. 0.05
c . 0.41
d. 0.59

풀이: 기차는 역에 일찍 도착과 동시에 늦게 도작할 수 없기 때문에 상호배반인 사상이다.
이 경우 확률은 P=0.23+0.18=0.41
정답 : C
참고문

4.4 신차에 평균 부적합수가 25개면 다음 번 신차의 부적합수가 정확히 25개가 될 확률은 얼마인가?

a. 50 %
b. 25 %
c. 10 %
d. 8 %

풀이: m=25, x=25 인 포아송 분포를 이용하라.
\begin{align*} & P(x,\mu)=\frac{e^{-\mu}\mu^{x} }{x!} \\& P(25,25)=\frac{e^{-25} 25^{25}}{25!}=0.0795 \end{align*} 정답 : d
참고문현: CRE 프라이머 Ⅳ-41/43, Dovich, Robert A. Reliability Statistics.

4.5. 정규분포 곡선이 나타내는 변들은 무엇 때문인가?

a. 불가피 원인
b. 치명적 고장
c. 가피 원인
d. 점진적 고장

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 고장 유형과 정규분포에 대한 지식이 필요한다.
보기 b, c, d 는 모두 이상원인 혹은 비정상적인 원인들이다.
정규분포 내에서 발생하는 변동은 정규변동, 자연변동, 우연변동, 혹은 불가피변동이라고 불린다.
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머 Section Ⅳ-27/31 과 Ⅳ-74/78 (그리고 로직).
AT & 1 Statistical Quality Control Handbook. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.6. 아래중 어느 검정이 분포를 안다는 가정하에 행해지는가?

a. Mann-Whitney
b. Kruskal-Wallis
C. Mood'S median
d. 1원 배지법

풀이: 보기 a, b, c 는 비 모수 방법이고 분포 가정 없이 행해질 수 있다.
1원 배지법은 모집단의 분포를 가정하고 행해진다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-10

4.7. 다음 식이 주어졌을 경우
$$$ f(x)=\frac{e^{-5}5^{x}}{x!} $$$ X=0, 1, 2 ... 에 대해 f(x)는 무엇인가?

a. 지수 확률밀도함수(pdf)
b. 포아송 확률밀도함수(pdf)
c. 지수 누적확률함수(cdf)
d. 포아송 누적확률함수(cdf)

풀이: 평균 mu 를 갖는 포아송분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$$ P(x,\mu)=\frac{e^{-\mu}\mu^{x} }{x!} $$$ 따라서 주어진 식은 μ μ =5인 포아송 확률밀도함수이다.
정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-42/43. Juran, J.M 의 Quality Control
Handbook,Section 23. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.8. 어느 장비의 고장률함수, h(x)는 다음과 같다.
$$$ h(t)=\begin{cases}0 \quad if & t \lt 0\\ \lambda \quad if & 0 \leq t \leq 1 \\ \lambda t \quad if & 1 \leq t \leq 5 \end{cases} $$$ R(t)에 대한 올바른 표현은 어느 것인가?

풀이: 문제에서 고장률은 구간 (1, 5)서 증가하고 있다.
이의 예로서 전자제품의 마모 및 노후화를 설명하는 Rayleigh 혹은 정규분포를 들 수 있다. $$$ R(t)=e^{-\int_{-\infty}^{t} h(s)ds} $$$ 문제로 부터 $$$ \int_{-\infty}^{t} h(s)ds = \int_{-\infty}^{0} 0 dt+\int_{0}^{1}\lambda dt + \int_{1}^{5} \lambda t dt= 0 + \lambda t + \frac{\lambda t^{2}}{2} = 13 \lambda $$$ 정답 : C
참고문헌: CRE 프라이머, Section Ⅳ-59(and logic)Kapur, K. C. Lamberson, L.R, Reliability
in Engineering Design. 이 문제는 과거 ASQ CRE 기출문제의 변형임.

4.9 와이블 분포에서 척도모수가 감소할 경우 아래 중 맞는 것은?

a. 와이블 분포가 지수분포와 같아진다.
b. 위지모수가 0으로 접근한다.
c. 확률밀도함수가 우측으로 길어진다.
d. 확률밀도 함수가 왼쪽으로 압축된다.

풀이: 와이블분포의 척도모수에 대해 검토하고 열거된 보기와 비교해 보아야 한다.
와이블분포는 신뢰도 분석에서 일반적으로 사용되는 분포 중 가장 복잡한 분포이다
이 분포는 재료의 노후화와 관련된 문제를 해결하기 위해 스웨덴 사람 W. Weibull이 개발하였습니다.
와이블분포는 b (형상모수), a 혹은 h(적도모수), I(위지모수)등 3개의 모수를 갖는다.
척도모수가 감소함에 따라 확률밀도함수는 왼쪽으로 압죽된다.
마지막 보기 d 가 맞고 보기 c는 틀렸다.
와이블분포는 b=1, a =1, I|=0 일 때 지수분포와 같아진다.
보기 a와 b는 틀렸다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-21/22. Amatadter,B.L. Reliability Mathemetics

4.10 평균 p에 대한 산롸구간을 구할 때, 샘플 크기 n 에 기초하여

a. n을 증가 시키면 구간이 넓어진다
b. n 대신 Sx를 사용하면 구간이 좁아지다
c. 구간이 넓을수록 p의 추정이 더 좋아진다
d. n을 증가시키면 구간이 줄어든다

풀이: m 에 대한 신뢰구간을 구할 때 (s=.05인 정규분포일 때) $$$ X \pm 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}} $$$ 여기서, n = 샘플크기 s : 표준편차
보기 b는 전혀 이치에 맞지 않는다 아마 n 대신 s를 써야 하는데 오타가 난 것 같습니다.
보기 c 도 역시 틀렸다. 구간이 넓을수록 p의 추정이 더 나빠진다.
윗 식에서 샘플크기가 증가할수록 신뢰구간은 좁아진다.
정답 : d

4.11. 다음 연속형 분포 중 어느 것이 일반적인 동작 범위에서 기울지 않고 좌우대칭인가?

풀이: 정규분포는 기울지 않고 좌우대징이다. 대수정규분포는 좌우대칭이 아니고 기울어있다.
와이블분포는 형상모수와 적도모수의 값이 특정할 때 정규분포로 접근하지만 종종 비대칭이고
기울어진 분포이다. 대수정규분포는 보통 우측으로 길게 기울어진 분포이다.
정답 : a

4.12. 유한한 분산을 가진 모집단으로부터 뽑은 큰 샘플의 평균은 모집단의 평균을 중심으로
정규분포를 따르는 경향이 있다.이는 다음 중 어떤 정리에 따르는 것인가?

풀이 : 최소자승이란 용어는 예측 방정식 또는 회귀선을 설정하는 데 사용된다.
체비세프 와 Camp-Meidel 은 생풀의 평균과 표준 편차가 주어졌을 경우,
측정값의 일정 비율이 떨이지는 간격에 대한 보수적인 추정을 설명하는 정리이다.
중심 극한 정리가 올바른 선택이다.
모평균과 분산이 유한한 경우, 샘플 평균은 개별 값보다 모집단 평균 주위에 더 정규분포의 모양으로
분포될 것이다.
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-6

4.13 f(t), R(t), h(t)는 고장시간밀도 함수, 신뢰도함수, 그리고 고장률 함수를 나타낸다.

풀이: 아래와 같이 고장률 함수식을 이해하면 이 질문에 답할 수 있다.
신뢰성 공식은 다음과 같다 \begin{align*} &h(t)= \frac{f(t)}{R(t)}= -\frac{d}{dt} ln \{1- F(t)\} \\& 그러므로 \quad \int_{-\infty}^{t} h(s)ds = ln \{1- F(t)\} \\& 이때 \quad t \geq 일때 \quad R(t)=e^{-\int_{-\infty}^{t} h(s)ds} \end{align*} 여기서: R(t)= 신뢰도함수 , h(t)= 고장률함수 , f(t)= 확률밀도함수 , t = 시간 혹은 고장시간 밀도함수
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-59

4.14. 새 냉장고는 전원을 연결했을 경우 정상 작동할 확률이 0.985이다.
아무 홈집 없이 가정에 배달 될 확률 0.947 이 다.
아무 홈 없이 배달 되서 정상 작동할 확률을 얼마인가?

풀이: 이 문제는 사상이 서로 독립이지마는 상호 배반은 아닌 경우, 확률의 곱셈법칙에 관한 예이다.
$$$ P(A \cap B)= P(A)\times P(B)=0.985 \times 0.947=0.932795=0.933 (3자리에서 반올림)$$$ 확률 계산은 모든 자리 수까지 다 계산한 다음에 최종 값을 구하기 위해 반올림해야 한다.
정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-16

4.15. 공정이 x-double bar:100, R=7.3 n=4에서 안정적으로 관리되고 있습니다
R은 같지만 공정수준이 101.5로 이동하있습니다면
다음번에 타점되는 xbar의 값이 관리한계 밖에 떨어질 확률은 얼마인가?

a. 0.016
b. 0.029
C. 0.122
d. 0.360

풀이: 이 문제에서는 관리상한을 계산하고 이 상한을 규격한계와 비교하고 윗쪽 값을 결정함으로써
공정변동 이후의 고장율을 알아낼 필요가 있다. \begin{align*} & UCL_{\overline{x}}=\overline{X}+A_{2}\overline{R} \quad Z_{upper} =\frac{USL-\overline{X}}{S_{\overline{X}}} \\& UCL_{\overline{x}}=\overline{X}+A_{2}\overline{R}= 100 + 0.73 \cdot 7.3 =105.33 \\& 관리도에서 \quad 3S_{\overline{X}} \quad A_{2}\overline{R}=5.33 입니다 \\& 따라서 \quad S_{\overline{X}} =1.78 입니다 \end{align*} 아래 그림을 보면 Z값 고장율을 계산하는데 도움이 ? 수 있다. UCL이 USL이 되는 점에 주의하라.

고장률은 0.0158이다.
정답 : a
참고문한 CRE 프라이머, Section 1Ⅵ83/85, 이 문제는 과거 CQE 기출문제의 변형임.

4.16. 어느 장비는 m=300시간인 MTBF를 갖고 있다.
수명이 지수분포를 따른다고 가정할 수 있습니다
신뢰도 0.999가 요구된다면 몇 시간까지 사용 가능한가?

a. 30시간
b. 0.3시간
c. 300시간
d. 0.003시간

풀이: 이 문제에서는 지수 신뢰도 공식을 이용하여 허용되는 사용시간을 계산해야 한다.
식
\begin{align*} & R(t)=e^{\frac{t}{\theta}} \\& 0.999 =e^{\frac{t}{300}} \\& ln 0.999 = ln\cdot e^{\frac{t}{300}} \\& - 0.0010 = \frac{t}{300} \\& t = 0.3 \end{align*} 정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-37/39. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.17. 효과적인 신뢰도 관리도에는 어떤 원리가 내제되어 있는가?

a. 샘플이 무작위로 추출되었습니다
b. 샘플이 이질적이다
c. 공정을 통해 설계상 미흡한 점을 알 수 있습니다
d. 신뢰도 분석에서 고장율은 옳지 않은 척도이다

풀이: 생풀은 이질적이 아니고 동질적이어야 한다.
고장율은 일정해야 하고 공정은 안정적인 성숙기에 있어야 한다.
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-63/65, Doty, L. 시 Reliability for the Technologies, 페이지 192

4.18. 플라스틱 공장에서 플라스틱 필름을 생산하는 8개의 사출기를 운영한다.
6 개 미만의 사출기가 작동하는 경우 요구 생산량을 충족시킬 수 없다.
기계 정지 오작동이 발 생할 확률은 0.30이다.
적어도 6 개의 사출기가 하루동안 작동할 확률은 얼마인가?

a. 0.5783
b. 0.4482
c. 0.5518
d. 0.8059

풀이: 이 문제를 풀기 위해 이항분포를 이용한다. 아래에서 0, 1, 2개의 고장이 발생할
확률을 이항분포에 따라 계산하있고 이를 다 합치면 0.5518이 된다.
이는 하루 종일 6개의 사출기가 작동할 확률과 동일한다. \begin{align*} & P(0 , 8 , 0.3)= c_0^8 P^{x} (1-p)^{n-x}= 0.3^0\cdot0.7^8=0.0576 \\& P(1 , 8 , 0.3)= c_1^8 P^{x} (1-p)^{n-x}= 8 \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^7=0.1977 \\& P(2 , 8 , 0.3)= c_2^8 P^{x} (1-p)^{n-x}= 28 \cdot 0.3^2 \cdot0.7^6=0.2965 \end{align*} 이 문제는 이항분포 테이블에서 n=8, r=2이하 p=0.30 난을 찾아도 된다.
정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-44/47 그리고 Section X-9.

4.19. 초기하 검정에 필요한 샘플의 크기는 어떠한가?

a. 생산율 따라 다르다
b. 결정할 수 있습니다
c. 알리진 검열수준이 필요한다.
d. 신뢰 수준 및 신뢰성을 제공해야 함을 나타낸다

풀이: 이 문제에서는 가설검정을 참고해야 한다. 따라서 보기 d가 제외된다.
검열이나 비율이 포함되어 있지는 않다.
가장 포괄적인 답은 b이다. 이는 모든 검정에 다 해당된다.
정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-60/ 1.

4.20. 각 운행에서 고장 날 확률이 동일한 독립시행을 1000회 반복하였는데 이 중 50회고장이 발생하였습니다.
신뢰도 90% 상, 하한(신뢰도 80%와 동일)을 구하라.

a. 0.96~0.94
b. 0.98~092
c. 0.99~0.96
d. 1.00~0.95

풀이: 이 문제의 답을 구하는 데는 및 가지 방법이 있다.
가장 명확한 방법은 비율의 신뢰구간을 구하는 것이다. \begin{align*} & P \pm Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\& 0.95 \pm 1.282\sqrt{\frac{0.95\cdot0.05}{100}} \\& 0.941 \leq p \leq 0.959 \end{align*} 정답 : a
참고문한 CRE 프라이머, Section Ⅳ-96. Juran, J.M 의 Quality Control Handbook,Section

4.21. 아래 생불 데이터가 입수되었습니다. 정규분포를 가정할 때 공정의 3시그마 영역은 어디인가?

풀이: 계산기를 사용하여 분포 관련 값을 구할 수 있습니다.
X = 16.158   s = 0.036
따라서 X ±3s = 16.158 ± 0.108
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-8/9.

4.22 아래 분포 중 시간에 따라 변하지 않는 실패율을 갖는 고장률 분포는 어느 것인가?

a. 와이블
b. 감마
c. 대수정규
d. 지수

풀이: 보기의 모든 분포는 일정한 실패율을 갖는 유일한 연속분포 인 지수 분포를 제외하고는
시간에 따라 변한다.
기하 분포는 일정한 고장률을 갖는 유일한 이산형분포이다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-37/39. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.23. 아래 보기 중 관리 상태를 벗어난 경우는 어느 것인가?

a. 5개의 점이 위, 혹은 아래 방향으로 움직인다
b. 5개의 이 연속해서 중심 위, 혹은 아래에 떨어진다
c. 연속된 점 중 2개가 2시그마 한계를 넘어 떨어진다
d. 3시그 한계 밖에 점이 나가지 않는다

풀이: 관리도에서는 관리상태에 있지 않는 것을 나타내는 여러 가지 규칙이 있다.
가장 널리 쓰이는 규칙은 Western Electric Company 에서 정리하였습니다

1. 점이 3시그마 관리한계를 벗어난다
2. 8개 이상의 점이 연속해서 증가 혹은 감소한다.
3. 8개의 연속된 점이 중심선 한 쪽으로 떨어진다.
4. 연속된 5개점 중 4개가 1시그마 한계를 벗어난다.
5. 연속된 3개점 중 2개가 2시그마 한계를 벗어난다.

위 규칙에 의거하여 c 만이 관리상태에 있지 않음을 나타낸다.
정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Ⅳ- 74 그리고 AT T Quality Control Handbook.

4.24. 신뢰성 시험이 사전 설정된 시험 종료 계획에 따라 합계 171 시간의 장지-시간 후에 종료되었습니다.
평균수명(q)는 57 시간으로 추정되었습니다.
모집단의 평균수명에 대한 95 % 신뢰구간의 하한은 얼마인가?

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 MTBF 의 95% 신뢰하한을 계산해야 한다. $$$ \hat{\theta}=\frac{T}{r} \quad or \quad r= \frac{T}{\hat{\theta}} \quad \theta_{L} = \frac{2T}{X^2(\alpha\ ,2r+2)\ } $$$ 이는 시간 절단 시험이다. \begin{align*} & \alpha=0.05 \quad r= \frac{171}{57}=3 \quad \theta_{L} = \frac{2T}{X^2(0.05 ,8)} \\& 2r+2=8 \quad \theta_{L} = \frac{342}{15.507}=25.05 \end{align*} 정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-98. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.25. 이항분포에 대한 설명 중 옳은 것은 어느 것인가?

a. 전개 후 각 항의 지수의 합은 샘플크기와 같다 .
b. 식 전개 후 각 항의 계수의 합은 샘플크기와 같다
c. 식 전개 후 모든 항의 지수의 합은 샘플크기와 같다
d. 식 전개 후 자수의?된생巨크기와 상관없다

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 이항식을 검토하고 답과 비교해야 한다. \begin{align*} & P(y | p)=\frac{n!}{y!(n-y)!}p^{x}(1-p)^{n-x}\\& 계수는: \quad P(y | p)=\frac{n!}{y!(n-y)!} \end{align*} 검토해보면 b는 틀렸다. 지수는 y와 n-Y 이다.
보기 a가 0과 n 사이의 모든 값에 대하여 옳은 답이다.
보기 c는 틀렸다. y=1, n=8 에 대하여 p의 지수는 1이고 1-p 의 지수는 7 입니다
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-4/46. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.26. 어느 음악 그룹은 7명으로 구성되어 있다. 이 그룹에서 4명을 구성된 소그룹은 몇개나 결성될 수 있는가?

a. 35
b. 42
c. 210
d. 840

풀이: 이는 7개에서 4개를 뽑는 조합문제이다.
$$$ c_r^n=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{7!}{4!(7-4)!}=35 $$$ 정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-18.

4.27. 어느 장비의 MTBF 는 5000시간이다. 고장률이 일정한다.고 가정하면 5000간 동안 사용한다.가
고장 날 확률은 얼마인가?

a. 63 %
b. 37 %
C. 100 %
d. 50 %

풀이: 이 문제는 신뢰도를 구하기 위해 단순히 지수분포 계산을 하면 된다.
문제에서 핵심 단어는 “고장”이다.
$$$ P_{s}=R_{t}=e^{-\frac{t}{\theta}} \quad P_{f}= 1-P_{s} $$$ 질문이 실패 (고장)에서 성공으로 바뀌면 보기 b가 된다.
답을 구하기 위해 신뢰성 공식을 사용해야 한다. \begin{align*} & P_{s}=R_{t}=e^{-\frac{5000}{5000}}=e^{-1}=0.3678 \\& P_{f}= 1-0.3678=0.6322 \approx 63 \% \end{align*}
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-37/39. 이 문제는 과거 CRE 시험 문제이다.

4.28. 어느 측정치에 대한 확률 밀도 함수는 x가 0에서 10사이인 구간에서 0.02x인 경우,
측정치가 4와 5사이가 될 확률은 얼마인가?

a. 0.01
b. 0.05
c. 0.09
d. 0.20

풀이: 두 값 사이의 곡선 아래 영역을 계산해야 한다.
$$$ \int_{4}^{5} 0.02 \; ds = 0.02 \left[ \frac{X^{2}}{2}\right]_4^5=0.01 (25-16)=0.09 $$$ 정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-54/57.

4.29. 다음 식이 주어졌을 때. $$$ f(x)=\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}} \quad for \quad x \geq 0 $$$ X 의 평 과 표준편자는 얼마인가?

a. 5 , 5
b. 5 , 1
c. 1, 5
d. 0, 1

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 지수확률 함수를 이해하고 답을 검토해보아야 한다.
지수확률밀도함수 식은 다음과 같습니다. $$$ y=f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} $$$ 추가적으로, 지수분포에서 평균과 표준편자는 동일한다.
윗 식에서는 θ = 5이다.
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-33/39. 이 문제는 과거 CRE 기출문제의 변형임.

4.30. 트랜지스터의 수명은 10,000 시간당 고장률 0.002인 지수분포를 따른다.
1000시간 동안 트랜지스터의 신뢰도는 얼마인가?

a. 0.998
b. 0.9998
c. 0.9999
d. 0.999

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 시간과 고장률이 주어진 경우 단순히 지수 신뢰성 계산을 하면 된다.
\begin{align*} & \lambda= \frac{r}{T}=\frac{0.002 failures}{10.000 hours}= 2 \times 10^{-7}failures/hr \\& R_{t}=e^{-\lambda t}=e^{-0.00000002 \cdot 10000}=e^{0.0002}= 0.9998 \end{align*} 정답 : b
참고문현: CRE 프라이머. Section Ⅳ-37/39. 이 문제는 과거 CRE 시험 문제이다.

4.31. 5개의 모터에 대해 고장 시험을 하고 있습니다
고장 시간은 632시간, 3450시간, 816시간, 928시간, 150시간이다.
평균수명에 대한 90% 양쪽 신뢰구간은 얼마인가?
수명은 지수 분포를 따른다고 가정하라.

a. 1051시간 ≤ θ ≤ 1942시간
b 847시간 ≤ θ ≤ 2650시간
c. 347시간 ≤ θ ≤ 2650시간
d. 653시간 ≤ θ ≤ 3033시간

풀이: 이 문제는 2종절단 (정해진 고장수 까지만 시험)을 사용하여 신뢰구간을 계산할 필요가 있다.
카이제곱 테이블을 사용하고 식에 아래와 같이 수치를 대입 하라.
\begin{align*} & \chi_{\alpha /2}^2 (2r)=\chi_{(0.05 , 10)}^2=18.307 \\& \chi_{1-\alpha /2}^2 (2r)=\chi_{(0.95 , 10)}^2 =3.940 \\& \frac{2T}{\chi_{\alpha /2}^2 (2r)} \le \theta \le \frac{2T}{\chi_{1-\alpha /2}^2 (2r)} \\& \frac{2\cdot 5976}{18.307} \le \theta \le \frac{2\cdot 5976}{3.940} \\& 652.9\le \theta \le 3033.5 \end{align*}

여기서 T = 진행된 시험시간 = 632+3450+816+928+150 = 5976
α = 위험수준 (1-신뢰수준)= 0.10
r = 고장수 = 5
2r = 카이제곱의 자유도 = 10
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-99.

4.32. 어느 회사가 3 개월 및 연간 MTBF 이동 평균을 사용하여 현장 신뢰성을 모니터링하는 경우,
두 이동평균을 비교하면 일반적으로 연간 이동 평균이 어떻게 것인가?

풀이: 분기 평균 또는 연 평균이 다를 것이라고 의심할 여지는 없다.
그 둘은 아마 차이가 나겠지만 어느 쪽이 더 클지는 알 수가 없다.
오랜 기간 동안 그 두 평균은 서로 서로에 대한 근사치가 될 것이고,
또한 해당 기간의 참 월평균에 대한 근사치가 될 것이다.
따라서 보기 A와 B는 틀렸다. 중심 극한 이론에 따르면 개별 값의 평균은 샘플 크기의 제곱근에 따라
반비례로 변할 것이다.
12의 제곱근은 3.464이다. 3의 제곱근은 1.732 이다.
연간 이동평균의 변동은 3개월 이동평균의 변동크기의 대략 반 정도가 될 것이다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-6.

4.33. 통계적으로 안정적인 공정은:

풀이: 이 질문은 SPC에 대한 기초적이고 근본적인 이해가 필요한다.
통계적 관리 상태에 있는 프로세스는 계산된 통계적 관리한계 내에 떨어지게 될 것이다.
목표는 제품을 규격에 맞게 생산하는 것이다.
그러나 다른 가능성도 존재한다. 공정이 규격 내에 있지만 관리상태를 벗어날 수 있다.
계다가 공정이 관리 상태에 있지만 규격을 벗어날 수도 있다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-63/64, 66/69, 와 79/80.

4.34. 차량 수집가가 차량 9대를 보유하고 있다. 이 수집가가 가장 좋아하는 자동사 3대 의 순위를
매기는 방법은 모두 몇 가지가 있겠는가?

a. 6    b. 84    c. 504    d. 60,480

풀이: 이는 9개 중 3개를 뽑는 순열문제이다. $$$ P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}=\frac{9!}{(9-3)!}=504 $$$ 정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-17.

4.35. 임의로 뽑은 자전거 헬멧 대해 충격 저항 시험을 하였습니다.
아래 데이터에 대해 자전거 헬멧 충격 저항 평균값 95% 신뢰구간을 구하라.
시험결과
샘플크기: 100개의 헬멧
평균 충격 저항: 276g
측정치의 표준편차: 15g

a. 276 ± 29.4 g
b. 276 ± 2.47 g
c. 276 ± 294 g
d. 276 ± 2.17 g

풀이: 신뢰구간은 아래와 같이 계산된다. 샘플 크기가 크기 때문에 정규분포가 사용될 수 있다.
z 테이블로부터 95 % 신뢰구간에 해당하는 값은 1.96이다. $$$ CI=\overline{X}\pm Z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =276g\pm1.96 \frac{15g}{\sqrt{100}}=276g \pm 2.94g $$$ 정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-95.

4.36. 어느 부품 수명은 특성수명(thata)이 4,000시간이고 형상모수가 2.0인 와이블 분포를 따른다.
2,000시간 시험한 이후의 신뢰도는 얼마로 예상되는가?

a. 0.500
b. 0.591
c. 0.779
d. 0.856

정답 : c
풀이: 이 문제는 와이블 신뢰도 계산이 필요한다.
위치 모수 delta 는 0으로 가정된 점에 주의 하라 $$$ R_{x}=e^{{-(X/\theta)}^{b}}=e^{{-(2000/4000)}^{2}}=0.779 $$$ 참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-20.

4.37. 독립적이고 일정한 비율로 발생하는 고장 시간을 설명하기 위해 적용되는 분포는 어느 것인가?

a. 대수정규
b. 지수
c. 와이블
d. 극단값

풀이: 이 문제는 보기의 분포를 검토할 필요가 있다.
핵심 질문 단어는 “일정한”과 “독립“ 이다. 지수분포가 질문 요구사항을 중족시킨다.
정답 : b
참고 문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-37/39. 이 문제는 과거 CRE 시험 문제이다.

4.38 모든 연속형 확률 밀도 함수의 고장률 함수는

a. MTBF 의 역수이다
b. 순간 고장률이다
c. 시간t 까지 생존할 확률이다
d. 0 보다 긴 시간 동안의 안전성 적도이다

풀이: 이 문제에서 핵심 문구는 “모든 연속형 확률 밀도 함수” 이다.
고장률(hazard rate)는 시각 t 에서의 순간 고장률 (failure rate)를 나타내며
더 나아가 시간 간격이 0으로 접근할 때 고장률의 한계치로 정의될 수 있다.
보기 a 는 유용한 수명 동안 해당되는 설명이고 보기 c 는 신뢰도의 정의이며,
보기 d는 잘못된 선택이다.
정답 : b
참고문헌. CRE 프라이머, Section Ⅳ_59. 이 문제는 과거 CRE 시험 문제이다.

4.39. 수리 가능한 부품 (수명이 지수분포를 따른다)의 모집단 MTBF가 100 시간이다.
이 모집단이 300 시간 임무로 동작되는 경우 부품의 몇 %가 고장 날 것인가?
(고장 난 부품은 교체되지 않음)

a. 95 %
b. 87 %
c. 69 %
d. 63 %

풀이: 이 문제는 신뢰도에 대한 지수분포 공식으로 해결될 수 있다.
공식은 시간에 따른 신뢰도를 나타내고 있고 이 문제는 시간에 따른 고장을 찾고 있습니다는 점을 주의하라
답은 %로 표현되어 있다.
\begin{align*} & R_{t}=e^{-\frac{t}{\mu}}\\& R_{t}=R_{s}= e^{-\frac{t}{\theta}} = e^{-\frac{300}{3}}=0.05\\& P_{f}= 1-P_{s} = 1-0.05= 0.95 \end{align*} 정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-37/39. 이 문제는 과거 CRE 책자에서 발췌하였습니다.

4.40. 이항분포의 확률밀도함수는 어느 것인가?

a. $$ P(x)=\begin{bmatrix}n \\x \end{bmatrix}(1-p)^{x} p^{n} $$
b. $$ P(x)=\begin{bmatrix}n \\x \end{bmatrix}(1-p)^{n-x} p^{x} $$
c. $$ P(x)=\begin{bmatrix}n \\x \end{bmatrix}(1-p)^{x-n} p^{x} $$
d. $$ P(x)=\begin{bmatrix}n \\x \end{bmatrix}(1-p)^{n-x} p^{-x} $$

풀이: 이 문제는 기본적인 공식에 관한 문제이고 이항분포와 잠시 비교해 보면 해결된다.
일부 교재에서는 보기에 나타난 것과는 다른 형태의 표현도 사용하고 있다.
아래도 역시 맞는 표현이다. $$$ P(x)=\begin{bmatrix}n \\x \end{bmatrix} p^{x}(1-p)^{n-x} $$$ 여기서: q=1-p , r=x
$$$ P(r)= \frac{n!}{r!(n-r)!}p^{r}(q)^{n-r} $$$ 정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-44/45. 이 문제는 과거 CRE 책자에서 발췌하였습니다.

4.41. 아래 중 어느 것에 산포의 척도인가?

a. 중앙 값
b. 최빈값
c. 평균
d. 사분위 수

풀이: 사분위수는 중간 50 % 데이터의 흩어짐을 표현하고 있으므로 중심 경향이 아니라 산포의 척도이다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-3/9.

4.42. 랜덤 샘플링에 대한 설명으로 옳은 것은?

a. 이론적으로 모든 항목이 선택될 가능성이 동일한다.는 것을 의미한다
b. 샘풀 평균이 모평균과 동일해지는 것을 보장한다
c. 난수표를 사용해서 뽑았다는 것을 의미한다
d. 거의 무의미한 이론적 요구 사항이다

풀이: 보기 b와 d는 틀렸다. 보기 c 에서, 임의성을 보장하기 위해 난수표가 사용될 수는 있다.
무작위 추출을 위해서는 모든 요소들에계 생풀로 추출될 수 있는 동일한 기회가 주어져야 한다.
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-60. 이 문제는 과거 CRE 문제를 변형하였습니다.

4.43. 아래 중 어느 것이 이산형 분포인가?

a. 정규
b. 와이불
c. 이항
d. 대수정규

풀이: 이 문제의 핵심 단어는 이산형 이다.
이항, 초기하 및 포아송은 이산형확률 분포 이다.
정규 분포, 대수정규 분포, 지수 분포, 극한 값 분포, F 분포, student-t분포, chi-square 및
Weibull분포는 연속형 확률 분포이다.
정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-20/36 과 41/44.

4.43 R 관리도의 일반적인 사용 용도는 어느 것인가?

a. 공정이 안정적인지 판단하기 위해
b. 공정 평균이 안정적인지 판단하기 위해
c. 공정 산포가 안정적인지 판단하기 위해
d. 공정의 분산을 판단하기 위해

풀이: R 관리도 혹은 범위관리도는 공정의 변동을 관찰하기 위해 사용된다.
이는 일반적으로 공정평균을 관찰하는 x-bar 관리도와 함께 사용된다.
정답 : c
참고문헌 CRE 프라이머, Section Ⅳ-66/69.

4.45. 어느 부품이 특정 시간까지 생존한 후 순간 고장률을 나타내는 것은 어느 것인가?

a. 밀도 함수
b. 고장률 함수
c. 신뢰도 함수
d. 지수 함수

풀이: 이 문제를 풀기 위해서는 신뢰도 분포와 함수에 관한 지식이 필요한다.
고장률 함수는 순간 고장률이라고 한다.
지수 함수에서 k는 고장률 함수이다. 지수 함수는 많은 확률 일도 함수 중 하나이다.
정답 : b
참고문헨 CRE 프라이머, Section Ⅳ-59. 이 문제는 과거 CRE 문제에서 발췌하였습니다.

4.46. 아래 중 어느 것이 연속형 확률분포인가?

a. 와이불
b.초기하
c. 이항
d. 포아송

풀이:초기하, 이항과 포아송은 이산형(계수형에 기반)분포이다.
와이불은 많은 연속형 (변수기반)분포 중 하나이다.
그러나 보기에는 많은 연속형 분포 중 와이불만이 유일하게 보기에 나와 있다.
정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-20/21 과 42/49 (다른 곳에도 설명이 있음).

4.47. 랩탑 컴퓨터를 구입한 347명에 대한 최근의 조사에서 6대의 랩탑이 부적합품이었다.
이 조사의 결과를 보면 부적합 랩탑을 갖게 될 확률이 얼마인가?

a. 0.003
b. 0.017
c. 0.060
d. 0.983
정답 : b

풀이: 이는 단순 사상의 확률이다. $$$ P=\frac{n}{N}=\frac{6}{45}=0.017 $$$ 정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-11.

4.48. 다음 식은 무엇을 나타내는가? $$$ C_{pk}=\frac{USL-\overline{X}}{3\sigma_{R}} \quad or\quad \frac{\overline{X}-LSL}{3\sigma_{R}} $$$

a. x-bar 관리도의 한계
b. 범위 관리도의 한계
c. 중심을 조정한(치우침)공정 능력
d. 규격을 중족시길 확률

풀이: Cp와 Cpk 는 공정능력지수이다. Cpk는 다음 식을 이용하여 계산된다 $$$ C_{pk}=\frac{USL-\overline{X}}{3\sigma_{R}} \quad or\quad \frac{\overline{X}-LSL}{3\sigma_{R}} $$$ 여기서: L은 규격하한, U는 규격상한, σ 는 공정표준편차, x-bar는 공정평균이다.
Cpk는 공정의 중심이 규격 중심에 맞줘있지 않은 것을 조정한 값이다.
공정이 완벽히 중심이 맞춰서 있습니다면, Cp = Cpk가 되고 그렇지 않으면 Cpk는 Cp보다 작다.
정답 : c
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-88.

4.49. 아래 설명 중 형상모 beta=2 와이블 수명분포를 따르는 시스템의 고장률에 대한 설명으로 옳은것은

a. 고장률은 일정한다.
b. 고장률이 일정하계 증가한다
c. 고장률이 증가하는 비율로 증가한다
d. 고장률이 감소하는 비율로 증가한다

풀이: 이 문제는 와이블분포에서 형상모수의 영향에 대한 지식이 필요한다.
와이블분포 에서 P=2이면 이 분포는 Rayleigh 분포가 된다.
고장률은 (일정한 비율로)선형으로 증가 한다.
beta = 1 이면 고장률은 일정하게 유지된다.
정답 : b
참고문현: CRE 프라이머. Section Ⅳ-20/25.

4.50 굴뚝 가스에서 6개의 독립 샘플을 채취했다.
6개의 샘플의 치명적 오염물질의 평균은 30.2ppm이고 표준편차는 5ppm 이다.
샘플이 임의의 시간에 채취되었습니다고 가정하면
굴뚝가스에 있는 치명적 오염 물질비율의 90% 신뢰구간을 구하라.

a. 30.2±4.11 ppm
b. 30.2±3.96 ppm
c. 30.2±4.00 ppm
d. 30.2±3.36 ppm

풀이: 샘플 크기가 작기 때문에 아래와 같이 t 분포표를 사용해야 한다.
자유도=n-1= 5 α =0.10
t 테이블에서 t _{α / 2}= 2.015 $$$ E= t_{\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}=2.015\frac{5}{\sqrt{6}}=4.11 $$$ 정답 : a
참고문한: CRE 프라이머, Section Ⅳ-90/91 과 95.

4.51. 새로운 폴리머 프로토 타입의 실험실 시험에서 치명적 물질의 비율이 다음과 같이 관측되었습니다.

4.2ppm, 4.1ppm, 4.7ppm, 4.9ppm, 5.3ppm
생풀 표준편자는 얼마인가?

a. 0.498
b. 0.464
c. 0.475
d. 0.445

풀이: 이 문제는 다음과 같이 샘플 표준편 공식을 사용하여 풀 수 있다. $$$ s=\sqrt{\frac{\sum(x-\overline{x})^{2}}{n-1}}=0.498 $$$ 정답 : a
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-8/9.

4.52. 대수정규분포에 관한 설명 중 옳은 것은 어느 것인가?

a. 기울어 질 수 있습니다
b.고장률이 일정할 수 있습니다
c. 분포 봉우리가 2개일 수 있습니다
d. 이산적 척도를 갖고 있습니다

풀이: 대수정규분포는 연속적인 변수 데이터를 갖고 있으며 기운 모양을 하고 있다.
이 분포의 고장률은 일정치 않다. 분포 봉우리는 한 개이다.
정답 : a
참고문헌: CRE 프라이머, Section Ⅳ-32/36.

4.53 어느 부품이 90일간 생존하였습니다면, 고장률이 시간 당 0.0003인 지수분포를 가정할 때
향 후 90일 동안 고장 나지 않을 확률은 알마인가?

a. 0.0072
b. 0.3659
c. 0.4769
d. 0.5231

풀이: 이 문제는 단순한 신뢰성 계산을 필요로 한다.
지수 분포이기 때문에 부품이 90 일 동안 생존 했다는 사실은 향후 90 일 동안의 신뢰도에
영향을 주지 않는다는 점에 주의 하라.
—At
= 0.0003/hour X 24 hour / day = 0.0072 failures / day
ps = e-(0-0072)(90)
-0-648 = 0.5231
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-37/39.

4.54. n개 검사 중 정확히 f개 고장 발생을 결정하는 것은 아래 중 어느 분포인가?

a. 정규분포
b. 이항분포
c. 카이제곱 분포
d. 초기하 분포

풀이: 이 문제는 신뢰도 분포에 대한 지식을 요구한다.
관심 있는 사건의 발생(성공 혹은 신뢰도로 표현)확률이 고정되고 일정한 시행 횟수 중(n)f 개의
고장이 발생하는 경우, 고장 발생 수는 이항 분포를 따른다.
정답 : b
참고문헌: CRE 프라이머, Section Ⅳ-32/36.

4.55 지수 분포의 경우, 고장률 함수에 대한 설명으로 옳은 것은 어느 것인가?

a. 좁은 시간 간격 동안 고장이 발생할 확률이l다
b. 일정한(정해진이 아님)고장률의 함수이다
c. 증가하는 고장률의 함수이다
d. 확률 밀도함수와 신뢰도 함수간의 비율이다

풀이: 지수모형의 경우, 아래 3개의 식은 고장률 함수가 확률밀도함수와 신뢰도 함수로부터
쉽게 유도 될 수 있음을 보여주고 있다.
Probability density function = ft = le-Rt
Reliability function = Rt = e
The Hazard Function is :
Probability density function
Reliability function
고장률 함수는 x시점까지 고장이 나지 않았다는 조건하에 구간 x에서 (x + dx)에 고장이 날
조건부 확률로 정의된다.
보기 a는 조건부가 아닌 확률로 설명하고 있기 때문에 틀렸다.
정의는 고장이 없었다는 점을 언급하고 있다. 보기 b와 c는 잘못된 선택이다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-38과 59.

4.56 동전을 4번 던졌을 때 앞이 2번, 뒤가 2번 나올 확률은 얼마인가?

a. 9/16
b. 7/16
c. 1/2
d. 3/8

풀이: 이 문제는 이항분포 공식을 이용하여 확률을 계산할 필요가 있다. $$$ P(y, p)=\frac{n!}{y!(n-y)!}p^{y}(1-p)^{n-y} $$$
이 공식은 n번 시행에서 정확히 y번 성공할 확률을 계산한다.
여기서: n=샘플크기 y=성공횟수(간혹 r)p=성공확률 (1-p)=실패확률
이 문제를 풀 때, 모든 시행에서 성공 확률은 일정하고, 매 시행에서 단지 두 결과(성공/실패}중
하나만 발생할 수 있으므로 이항분포를 이용한다.
이를 대입하면
P(y/p): 4!( !x2!)]x(0.5)²x (0.5)²= 0.375 혹은 3/8
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-45.

4.57. 샘플크기 4로 하여 xbar 관리도를 작성하였습니다.
작업자가 실수로 단독 관찰된 점 하나를 관리도에 찍었다. 이 점은?

a. 공정이 안정상태에 있습니다면 어떠한 잘못된 판단도 내려지지 않을 것이다
b. 관리도의 중심선 근처에 항상 찍힐 것이다
c. 관련된 R 관리도가 불안정상태를 보이도록 영향을 미칠 것이다
d. 공정이 불안정상태라고 판정될 확률을 높일 것이다

풀이: 크기 4인 생풀의 표준 편차는 개별 값 표준 편차의 1/2이다.
이는 샘플링 분포의 표준 편자가 샘플 크기의 제곱근에 반비례하기 때문이다.
이 경우 4의 제곱근은 2이다.
개별 값의 표준 편자는 크기 4인 샘플평균의 표준 편자의 두 배이기 때문에 관리도의 관리한계는
크기 4인 샘플에서 구한 평균값 관리도의 관리한계보다 2배 넓을 것이다.
따라서 개별 값의 점을 찍으면 공정이 안정 상태에 있을 때 이 점이 관리한계를 벗어날 확률이 증가한다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-66/69 와 74/77.

4.58. 타이어 5개를 갖준 SUV 자동차로 오프로드 여행을 구상하고 있다.
이 여행에서 각 타이어가 고장 날 확률은 이항분포를 따르고 0.5로 추정된다.
5개의 타이어로 여행을 성공적으로 마질 확률은 얼마인가?

a. 0.0625
b. 0.5000
c. 0.3125
d. 0.1875

풀이: 이항분포식은 다음과 같습니다. $$$ P(x | p)=\begin{bmatrix}n \\x \end{bmatrix}p^{x}(1-p)^{n-x} , \quad x=0,1,2,...n $$$ n=5, p=0.5 일 때, y=0과 y=1이 될 확률의 합은 0.1875이다.
이 문제는 이항분포 식으로도 구할 수 있지만 이항분포 테이블을 이용하는 것이 더 편리한다.
정답 : d
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-4/47. Section X 부록 테이블 Ⅵ도 참조하라.

4.59. 산업용 볼트에 기계를 세팅하는중 .나시산에 관한 측정이 일부 이루어졌다.
모평균의 90% 신뢰구간은 얼마인가?
    4.98   4.06  3.88  3.97  3.93  3.87  3.91  3.97  4.10  4.06

a. 3.926 ≤ μ ≤ 4.040
b. 3.937 ≤ μ ≤ 4.029
C. 3.916 ≤ μ ≤ 4050
d. 3.912 ≤ μ ≤ 4.054

풀이: 이는 xbar = 3.98 s = 0.079449 이고 자유도 9 인 t분포 문제이다.
90% 양쪽 추정에서 α /2 = 0.05 를 사용하여 t 값은 1.833이 된다
95% 신뢰구간은 3.937 ≤ μ ≤ 4.029 이다.
정답 : b
참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-95.

4.60. 두 사상이 상호 배반이 아니다
사상이 중복되는 영역과 사상 중 하나만 발생 하는 영역을 보여주는 그림을 무엇이라고 부르는가?

풀이: 상호 배타적이지 않은 두 사상에 대한 밴 다이어그램은 사상이 중복되는 영역,
한 사상만 발생하는 영역 또 다른 영역이 발생하는 영역과 두 사상 모두 발생하지 않는
영역을 나타낸다.
정답 : d , 참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-12.

4.61. 5개 항목을 시험하였는데 이 중 43시간, 57시간이 80시간 지나서 고장이 발생했다.
나머지 2개는 100시간 동안 고장 없이 생존했다
130시간에서의 신뢰도에 대한 90% 신뢰구간은 얼마인가?

풀이: 고장 나지 않은 항목들은 마지막 고장 난 시점에서 시험으로부터 제거하지 않았기 때문에
이 시험은 시간절단(time censoring)이다.
하한값에 대한 카이제곱 분포의 임계 값은 2r+2 자유도를 가지며
상한값의 임계값은 2r가 자유도를 갖는다.
자유도 8인 카이제곱 분포에서 α = 0.05에 해당하는 임계 값 = 15.507이다.
자유도 6인 카이제곱 분포에서 α = 0.95에 해당하는 임계값은 1.635이다.
평균의 90 % 신뢰 구간은 다음과 같습니다. $$$ \frac {2 (43十57十80十100十100)}{15.507} \leq \theta \leq \frac {2(43十57十80十100十100)}{1.635} $$$ $$$ 49.01\le \theta \le 464.83 $$$
신뢰도의 90% 신뢰구간은 다음과 같다.
$$$ e^{-\frac{130}{49.01}}\leq R \leq e^{-\frac{130}{49.01}} $$$ $$$ 0.0705 \leq R \leq 0.7560 $$$ 정답 : a , 참고문현: CRE 프라이머, Section Ⅳ-40.